gelanggang (Ring) Faktor
Pada bab ini kita telah membicarakan bahwa bila N adalah suatu subgrup normal dari G, maka kita dapat membentuk grup faktor G/N. Pada suatu gelanggang R, Bila
N adalah suatu sub grup normal dari G, maka kita dapat membentuk suatu grup
faktor G/N. pada suatu gelanggang R, bila N adalah suatu subgelanggang dari R,
maka R/N = 
dengan operasi penjumlahan dari R adalah suatu
grup faktor. Hal ini dijamin oleh kenyataan 
adalah suatu grup komutatif.
dengan operasi penjumlahan dari R adalah suatu
grup faktor. Hal ini dijamin oleh kenyataan adalah suatu grup komutatif.
Selanjutnya
kita ingin membentuk R/N menjadi suatu gelanggang. Persoalan yang
timbul adalah bagaimana cara kita mendifinisikan operasi perkalian atas R/N . Jawaban yang wajar adalah kita
mendifinisikannya dengan menggunakan oeprasi perkalian dari gelanggang R. Andaikan (r1
+ N) + (r2 + N) 
, menurut operasi perkalian di gelanggang R .
, menurut operasi perkalian di gelanggang R .
(r1 + N) + (r2 + N)
= 
Secara umum kita tidak
mempunyai jaminan bahwa (r1 + N) + (r2 + N) . Tetapi bila N adalah
suatu ideal dari R, maka 
dan 
. hal ini
berakibat bahwa 
, sehingga :
. Tetapi bila N adalah
suatu ideal dari R, maka dan . hal ini
berakibat bahwa , sehingga :
(r1 + N) +
(r2 + N)
Kemudian kita harus menjamin operasi :
(r1
+ N) + (r2 + N) =
Untuk
semua (r1 + N), (r2 + N)
adalah terdefinisi dengan baik. Artinya bila 
dan 
, maka kita harus menjamin bahwa 
= 
). Untuk itu kita
harus memperlihatkan 
, karena N adalah subgrup normal, hal ini sama
artinya dengan memperlihatkan 
. Perhatikan bahwa :
adalah terdefinisi dengan baik. Artinya bila dan , maka kita harus menjamin bahwa = ). Untuk itu kita
harus memperlihatkan , karena N adalah subgrup normal, hal ini sama
artinya dengan memperlihatkan . Perhatikan bahwa :
= 
Karena
dan 
maka 
, 
, sehingga 
dan 
, akibatnya = . Jadi operasi (r1
+ N) + (r2 + N) adalah terdefinisi dengan baik.
dan maka , , sehingga dan , akibatnya = . Jadi operasi (r1
+ N) + (r2 + N) adalah terdefinisi dengan baik.
TEOREMA
13.3.1
Andaikan R adalah suatu gelanggang dan
misalkan N adalah ideal dari R. bila pada himpunan R/N = didefinisikan operasi
didefinisikan operasi
(r1
+ N) + (r2 + N) = (r1 + r2) + N
dan
(r1 + N) . (r2 + N) = r1 r2 + N
untuk semua (r1 + N) , (r2
+ N) 
R/N, maka 
adalah suatu gelanggang.
R/N, maka adalah suatu gelanggang.
Bukti :
Karena
adalah suatu grup komutatif, maka adalah suatu grup komutatif. Sekarang, kita
tinggal memperlihatkan bahwa operasi perkalian adalah assosiatif dan distributife terhadap operasi penjumlahannya. Perhatikan
sebarang tiga unsur (r1 + N) ,
(r2 + N) , (r3 + N) R/N. Maka :
adalah suatu grup komutatif, maka adalah suatu grup komutatif. Sekarang, kita
tinggal memperlihatkan bahwa operasi perkalian adalah assosiatif dan distributife terhadap operasi penjumlahannya. Perhatikan
sebarang tiga unsur (r1 + N) ,
(r2 + N) , (r3 + N) R/N. Maka :
((r1 + N) . (r2 + N). (r3 + N) =
(r1 r2 + N) (r3 + N)
=
(r1 r2) r3 + N
=
r1 (r2 r3) + N
=
(r1 + N) (r2 r3 + N)
=
Sehingga
operasi perkalian adalah assosiatif.
Selanjutnya
untuk sebarang (r1 + N) . (r2 + N) . (r3 + N) R/N
R/N 
=
=
=
= 
=
(r1 + N) (r2 + N) + (r2 + N) (r3 +
N)
Dengan
cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa
= (r1 + N) (r2 + N) + (r2
+ N) (r3 + N)
Sehingga
adalah suatu gelanggang.
adalah suatu gelanggang.
Gelanggang R/N
pada teorema diatas disebut sebagai gelanggang faktor dari R modulo N. Berikut ini sifat-sifat dari gelanggang faktor. Berikut
ini merupakan Salah satu sifat gelanggang R/N.
