SUBGRUP SIKLIK

SUBGRUP SIKLIK

Definisi B-1:

Misalkan G grup dengan operasi *, " a,b Î G dan n,m Î Z maka:

a^m = a a a ..... a (m faktor)

a^m * aⁿ = a^m+n

a^-n = (aⁿ)^-1 = (a^-1)ⁿ

a⁰ = e (Unsur identitas)                                                                                                                                                            

Teorema 1:

Diketahui (G,*) merupakan grup dan a∈G. Himpunan H={aⁿ ∈Z} merupakan subgrup dari G sekaligus subgrup terkecil dari G yang memuat a.

Bukti :

1.     H  karena untuk n=0  maka a⁰=e

2.     H   G (dari defenisi H itu sendiri)

3.     Sifat tertutup

Ambil sembarang p,q  maka menurut syarat keanggotaan dari H maka

Akan ditunjukkan

(sesuai defenisi B-1)

            =a^m+n, m+n

      =a^m+n

 Jadi

4.     Sifat identitas ( )

Karena G grup maka  (unsur identitas)

5.     Sifat invers

Ambilsembarang

= e

         Demikian juga dengan p^-1 * p = a^-m * a^m

= e

Sehingga terbukti

Dengan dipenuhi ketiga syarat tersebut maka terbukti H ≤ G

Definisi B-2 (Pembangun):

Diketahui (G,*) merupakan grup, a∈G, dan H=  disebut subgrup siklik dengan generator a dan dinotasikan <a>

Definisi B-3 (Grup Siklik)

Suatu grup G dikatakan grup siklik jika terdapat a  G sehingga <a> = G

Contoh 1:

Diketahui Z₄ = {0,1,2,3} ; * = operasi penjumlahan modulo 4. Apakah Z₄ merupakan grup siklik dan kalau ya berapa generatornya?

Penyelesaian

X	0     1     2     3
0 1 2 3	0     1     2    3 1     2     3    0 2     3     0    1 3     0     1    2

Dari table caley diperoleh

1.     Z₄ ≠ Φ

2.     Z₄  Z

3.     Aksioma pertama (sifat tertutup) dipenuhi karena hasil operasi ada pada himpunan Z₄

4.     Aksioma kedua (sifat asosiatif)  pada penjumlahan modulo 4 dipenuhi pada bilangan bulat, karenanya pada Z₄ juga dipenuhi

5.     Aksioma ketiga (unsur identitas) dipenuhi:

6.     Aksioma keempat (unsur invers) dipenuhi yaitu:

0 inversnya 0 , 1 inversnya 3, dan 2 inversnya 2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa Z₄ terhadap operasi penjumlahan bilangan modulo 4 membentuk grup.

Maka Z₄ merupakan grup itu dibangkitkan oleh:

                                               

   maka 0 bukan generator       1merupakan generator

                                                

                                                 

                                                

                                   

                           

                    

2 Bukan generator                              3 merupakan generator

Contoh 2:

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan apakah G merupakan grup siklik? Jika ya tentukan generatornya!

Penyelesaian :

Dari table caley diperoleh :

X	-1    1
-1   1	-1  - 1  -1    1

1.     Aksioma pertama (sifat tertutup) dipenuhi karena hasil operasi ada pada himpunan G.

2.     Aksioma kedua (sifat asosiatif)  pada pekalian  dipenuhi pada G.

Ambil sebarang a,b dan c

a * (b*c) = a . (b.c)

              = a.b.c

              = (a.b).c (sifat asosiatif dipenuhi)

3.     Aksioma ketiga (unsur identitas) dipenuhi:

Akan ditunjukkan  G,

Ambil sembarang  G, pilih e = 1 maka

a*e = a.1 =a dan e*a = 1

maka  terbukti    G,

4.     Aksioma ke empat  (unsur invers) dipenuhi :

Akan ditunjukkan  G,

Ambil sembarang  G, pilih 

Berarti  G,

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa G terhadap operasi perkalian membentuk grup.

Maka G merupakan grup itu dibangkitkan oleh:

Kita selidiki unsure – unsure yang merupakan generator :

Unsur (1)

(

<1>      = {(1)ⁿ | n Z}

= {( , …}

= {1}       

Dengan demikian 1 bukan generator

Unsur (-1)

<-1>    = {(-1)ⁿ | n  Z}

= { , …}

= {-1, 1}

Dengan demikian (-1) merupakan generator

Sehingga G merupakan  grup siklik.

Contoh 3 :

 

Apakah  merupakan grup siklik ?

Penyelesaian :

Kita selidiki unsur-unsur yang merupakan generator

Unsur 1

<1>      = {(1)ⁿ | n Z}

= {( , …}

           = {1}   

Unsur 5

<5>      = {(5)ⁿ | n Z}

= {1,5}           

Unsur 7

<7>      = {(7)ⁿ | n Z}

= {1,7}           

Unsur 11

<11> = {(11)ⁿ | n Z}

        = {1,11}

dengan operasi perkalian modulo 12 bukan merupakan grup siklik, karena :

<1> =

<5>  =

<7> =

<11> =

Dapat dilihat tidak ada a  sedemikian sehingga   <a> sehingga  bukan grup siklik.