RING FAKTOR (STRUKTUR ALJABAR)

gelanggang (Ring) Faktor

Pada bab ini kita telah membicarakan bahwa bila N adalah suatu subgrup normal dari G, maka kita dapat membentuk grup faktor G/N. Pada suatu gelanggang R,  Bila N adalah suatu sub grup normal dari G, maka kita dapat membentuk suatu grup faktor G/N. pada suatu gelanggang R, bila N adalah suatu subgelanggang dari R, maka R/N =  dengan operasi penjumlahan dari R adalah suatu grup faktor. Hal ini dijamin oleh kenyataan  adalah suatu grup komutatif.

            Selanjutnya kita ingin membentuk R/N  menjadi suatu gelanggang. Persoalan yang timbul adalah bagaimana cara kita mendifinisikan operasi perkalian atas R/N . Jawaban yang wajar adalah kita mendifinisikannya dengan menggunakan oeprasi perkalian dari gelanggang R. Andaikan (r₁ + N) + (r₂ + N) , menurut operasi perkalian di gelanggang R .

(r₁ + N) + (r₂ + N)

                                  = 

Secara umum kita tidak  mempunyai jaminan bahwa  (r₁ + N) + (r₂ + N) . Tetapi bila N adalah suatu ideal dari R, maka  dan  . hal ini berakibat bahwa , sehingga :

(r₁ + N) + (r₂ + N)  

Kemudian kita harus menjamin operasi :

        (r₁ + N) + (r₂ + N) =

Untuk semua (r₁ + N), (r₂ + N) adalah terdefinisi dengan baik. Artinya bila  dan , maka kita harus menjamin bahwa  =  ). Untuk itu kita harus memperlihatkan   , karena N adalah subgrup normal, hal ini sama artinya dengan memperlihatkan  . Perhatikan bahwa :

  

                                                    = 

Karena   dan   maka ,  , sehingga  dan , akibatnya  =   . Jadi operasi (r₁ + N) + (r₂ + N)  adalah terdefinisi dengan baik.

TEOREMA 13.3.1

Andaikan R adalah suatu gelanggang dan misalkan N adalah ideal dari R. bila pada himpunan R/N =  didefinisikan operasi

(r₁ + N) + (r₂ + N) = (r₁ + r₂) + N

                                    dan (r₁ + N) . (r₂ + N) = r₁ r₂ + N

untuk semua (r₁ + N) , (r₂ + N)  R/N, maka  adalah suatu gelanggang.

Bukti :

Karena  adalah suatu grup komutatif, maka  adalah suatu grup komutatif. Sekarang, kita tinggal memperlihatkan bahwa operasi perkalian adalah assosiatif dan distributife terhadap operasi penjumlahannya. Perhatikan sebarang tiga unsur (r₁ + N) , (r₂ + N) , (r₃ + N)  R/N. Maka :

            ((r₁ + N) . (r₂ + N). (r₃ + N)              = (r₁ r₂ + N) (r₃ + N)

                                                            = (r₁ r₂) r₃ + N

                                                            = r₁ (r₂ r₃) + N

                                                            = (r₁ + N) (r₂ r₃ + N)

                                                            =

Sehingga operasi perkalian adalah assosiatif.

Selanjutnya untuk sebarang (r₁ + N) . (r₂ + N) . (r₃ + N)  R/N

         =  

                                                                        =

                                                                        =

                                                            =  

                                                                        = (r₁ + N) (r₂ + N) + (r₂ + N) (r₃ + N)

Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa

             = (r₁ + N) (r₂ + N) + (r₂ + N) (r₃ + N)

Sehingga  adalah suatu gelanggang.

Gelanggang R/N pada teorema diatas disebut sebagai gelanggang faktor dari R modulo N. Berikut ini sifat-sifat dari gelanggang faktor. Berikut ini merupakan Salah satu sifat gelanggang R/N.