JURNAL PEMODELAN MATEMATIKA

Model SIR : Wabah Flu Babi di Abu Dhabi:
Estimasi Kebutuhan Vaksinasi
Fathalla A. Rihan # 1, M-Naim Anwar # 2, Mohamud Sheek-Hussein * 3, Srdjan Denic ǂ 4
# Departemen Ilmu Matematika, Fakultas Sains, Universitas UAE, Al Ain, 17551, UEA
* Departemen Kedokteran Komunitas, Fakultas Kedokteran & Ilmu Kesehatan, Universitas UAE, 17.666, UEA
1frihan@uaeu.ac.ae; 2m.anwar @ uaeu.ac.ae, 3msheekhussein@uaeu.ac.ae, 4s.denic @ uaeu.ac.ae

Abstrak- Model Matematika dapat digunakan untuk menganalisis dinamika infeksi epidemi dan menciptakan wawasan yang lebih baik ke dalam langkah-langkah yang bisa mencegah epidemi di masa depan. Dalam tulisan ini, kami mengembangkan sebuah model SIR dasar yang cocok untuk data dari terbaru influenza A (H1N1) epidemi di Abu Dhabi. Kami memperkirakan nilai untuk reproduksi awal memiliki nilai Ro untuk mencegah wabah infeksi pengaruh babi. Hasil menunjukkan bahwa vaksinasi dari 59% penduduk dapat mencapai 'kekebalan kawanan' dan mencegah penyebaran penyakit. Hasilnya bisa membimbing tindakan kesehatan masyarakat di masa depan di Emirat Abu Dhabi.
Kata kunci-Influenza A (H1N1), Odes, Estimasi Parameter Simulasi, Stabilitas, Amerika Mantap

I. PENDAHULUAN
            Pada bulan Maret 2009, Negara Meksiko mengumumkan kasus pertama diberinama infeksi influenza A (H1N1). Dalam sebulan, sebelas negara lain melaporkan 331 kasus penyakit dan Organisasi Kesehatan Dunia (WHO) mengumumkan keadaan pandemi. Banyak negara di seluruh dunia menyiapkan langkah-langkah untuk memantau dan mengontrol wabah penyakit. Pemerintah Abu Dhabi mendirikan sebuah sistem survei pada Mei 2009 yang terdiri dari rawat inap dan tindakan vaksinasi. Pada bulan Juli 2009, jumlah korban yang terinfeksi serta yang mati dikonfirmasi dan  dilaporkan oleh WHO adalah 94.512 dan 429 masing-masing [5].

            Penyebaran flu dapat dicegah atau dikurangi dengan berbagai tindakan pengendalian seperti vaksinasi (imunisasi) dan penggunaan tepat waktu  antivirus tertentu. Vaksinasi mengurangi jumlah individu yang rentan dan dapat berupa konstan (konvensional) atau intermiten (musiman). Jika persentase penduduk rentan diimunisasi  memadai, penyakit menular tidak dapat menyebar dalam populasi. Hal ini disebabkan fakta bahwa vaksinasi tidak hanya melindungi orang yang diimunisasi tapi memberikankan perlindungan anggota lain dari populasi.
Analisis post-epidemi di Abu Dhabi menunjukkan tingkat kematian yang relatif rendah sebesar 1,4 per 100.000 penduduk [1]. Hal ini terjadi meskipun ada penolakan terhadap vaksinasi yang diamati selama epidemi di beberapa bagian populasi. Selain itu, cukup banyak vaksin yang mahal tidak dimanfaatkan. Observasi ini telah menciptakan kebutuhan untuk estimasi yang lebih baik dari sebagian kecil dari populasi yang perlu divaksinasi dan jumlah vaksin yang akan dipesan dalam hal wabah serupa di masa depan.
            Makalah ini menyajikan model matematika dari epidemi influenza A (H1N1) di Abu Dhabi tahun 2009-2010. Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk memperkirakan sebagian kecil dari populasi yang harus divaksinasi untuk mencapai kontrol yang memadai dari penyakit epidemi serupa di masa depan.

II. MODEL
            Kami menggunakan model SIR dasar yang bergantung pada tiga kelas epidemiologi: i) sebagian dari populasi yang rentan dan belum terinfeksi, S (t); ii) bagian yang terinfeksi dan dapat menyebarkan penyakit melalui kontak dengan individu rentan,  I( t), dan iii) sebagian dari mereka dihilangkan oleh imunisasi, pemulihan atau kematian, R (t). Yang paling sederhana model SIR teori Kermack dan McKendrick [8] menghitung jumlah orang yang terinfeksi dengan penyakit menular pada populasi tertentu dari waktu ke waktu. Penularan penyakit merupakan proses dinamis didorong oleh interaksi antara rentan dan infektif. Perilaku model SIR sangat dipengaruhi oleh cara di mana transmisi antara individu yang terinfeksi dan rentan dimodelkan.
            Dalam kasus flu babi, adalah suatu hal yang wajar dengan menganggap bahwa proporsi populasi rentan yang jauh lebih besar dari daripada kasus untuk influenza musiman. Namun, durasi rata-rata infektivitas dan karakteristik epidemiologi lain terkait flu babi diasumsikan sama dengan influenza musiman. Model ini memiliki berikut dalil-dalil: (i) individu Rentan dilahirkan dengan rate Nμ , (ii) β adalah jumlah fixed-rata kontak yang memadai dari orang per satuan waktu dan tidak tergantung pada ukuran populasi N atau bervariasi musiman , (iii) tingkat kematian dalam tiga kelas epidemiologi  adalah Sμ, Iμ dan Rμ, kematian menyeimbangkan kelahiran, sehingga ukuran populasi N adalah konstan, (iv) model menggunakan kejadian standar dan memiliki tingkat pemulihan Iγ. Kemudian model diubah ke dalam  bentuk

dengan S(t) + I (t) = R (t). Membagi persamaan dalam (1) dengan konstanta ukuran total populasiyaitu s(t) = S(t)/N; i(t)= I(t)/N; r(t) = R(t)/N menghasilkan :

 

Model ini memiliki dua persamaan:

Dimana :
 R adalah jumlah Reproduksi, itu menandakan jumlah individu yang terinfeksi oleh individu yang terinfeksi rentan ditempatkan dalam  satu populasi.
Persamaan  pertama merupakan kasus di mana tidak ada individu yang terinfeksi (bebas infeksi). Persamaan kedua merupakan kasus di mana sebagian kecil dari individu yang terinfeksi (persamaan yang terinfeksi, atau keseimbangan endemik), ketika  Ro (Setiap individu yang terinfeksi menginfeksi lebih dari satu anggota populasi dan kelompok  lain dari individu itu sendiri menular akan menyebar ).
Matriks Jacobian dari sistem lineated pada titik persamaan :

 

Persamaan karakteristik untuk bebas infeksi persamaan Eo= (1,0) kemudian :

……..(5)
Sedangkan persamaan karakteristik keseimbangan endemik adalah :

            c [6, 8,11]. Angka 1 menampilkan perilaku kualitatif model SIR ketika Ro < 1 ( keadaan bebas infeksi ). Sementara Gambar 2 menunjukkan perilaku ketika Ro>1 (steady keadaan endemik).

Gambar. 1 (atas) menunjukkan simulasi numerik model epidemik (1), (Bawah) lintasan dari pendekatan sistem untuk keadaan bebs infeksi Eo, ketika μ= 1/14 , β= 1,2 Ro =0,818 < 0.

Gambar. 2 (atas) menunjukkan simulasi numerik model endemik (1), (Bawah) lintasan dari pendekatan sistem untuk bebas infeksi E +, ketika μ= 11/14, β=1,66,, γ=0,44, Ro = 3,2458 >1