KOSET (STRUKTUR ALJABAR)

A.    KOSET

Teorema A-1

G Grup  berlaku:

1)    

2)    

Relasi  dan merupakan relasi ekuivalen

Bukti:1)

Akan dibuktikan R_L merupakan relasi ekuivalen

·        Akan ditunjukkan berlaku sifat refleksi atau a R_L b

            Ambil sembarang karena  dengan sifat ketunggalan identitas maka  (terbuktu sifat Refleksi)

·        Akan ditunjukkan berlaku sifat simetris atau a R_L b  b R_L a

            Ambil sembarang a,b  dengan a R_L b

a R_L b menurut defininsi maka  karena  maka  (sifat invers),

sehingga  atau b R_L a  (terbukti sifat simetri)

·        Akan ditunjukkan berlaku sifat transitif atau a R_L b dan b R_L c  a R_Lc

      a R_L b menurut definisi

      b R_L c menurut definisi ,

karena  maka dipenuhi sifat tertutup atau  atau  atau  atau a R_Lc

Jadi terbukti:  jika a R_L b dan b R_L c  a R_Lc

dengan dipenuhinya ketiga sifat tersebut maka relasi R_L merupakan Relasi Ekuivalen.

Jadi G terpecah atas kelas-kelas yang saling asing, misalnya:

                                                                       

                                                                       

                                                                       

                                                                       

                                                                       

                                                                       

Dan seterusnya sehingga kita peroleh

 dan

 

 disebut koset kiri dari H dalam G

Bukti:2)

Akan dibuktikan R_R merupakan relasi ekuivalen

·        Akan ditunjukkan berlaku sifat refleksi atau a R_R b

            Ambil sembarang karena  dengan sifat ketunggalan identitas maka  (terbuktu sifat Refleksi)

·        Akan ditunjukkan berlaku sifat simetris atau a R_R b  b R_R a

            Ambil sembarang a,b  dengan a R_R b

a R_R b menurut defininsi maka  karena  maka  (sifat invers),

sehingga  atau b R_R a (terbukti sifat simetri)

·        Akan ditunjukkan berlaku sifat transitif atau a R_R b dan b R_R c  a R_Rc

      a R_R b menurut definisi

      b R_R c menurut definisi ,

karena  maka dipenuhi sifat tertutup atau  atau  atau  atau a R_R c

Jadi terbukti:  jika a R_R b dan b R_R c  a R_Rc

dengan dipenuhinya ketiga sifat tersebut maka relasi R_R merupakan Relasi Ekuivalen.

Jadi G terpecah atas kelas-kelas yang saling asing, misalnya:

                                                                       

                                                                       

                                                                       

                                                                       

                                                                       

                                                                       

Dan seterusnya sehingga kita peroleh

 dan

 

 disebut koset kiri dari H dalam G