Sedikit Curhatan

                                          
Sebenarnya nih blog ke dua saya,, dulu pernah punya blog tetapi karena kesibukan kuliah dan kerja jdi bertahun2 blog tsb ga pernah dibuka lagi,, jdi lupa deh alamat plus paswordnya.. maklum aja deh byk yg dipikiri dan diurusi.. hahay..
Kemaren smnjak mulai aktif kuliah lagi di PPs terpikir  iseng-iseng buat nulis lagi,, mudah-mudahan aja ga terbengkalai nih blog kayak sblum2nya.. :(
Maklum aja klo isi blognya ntar campur-campur ,, kebanyakan sih tugas kuliah yg dipublikasikan.. Sebenarnya sih skalian buat  tempat back up data nih blog .. hehehe.. kali aja ada apa2 ntar.. :)
Udah gitu aja kali.. cukup sekian dan terimakasih.. wasalamulaikum..

MY DAILY ACTIVITIES PART 3

            I go to college three days in a week. Namely, Monday until Wednesday. I study English every Wednesday morning. I studied calculus after I had studied English. The lecturer is Prof. P. Siagian, M.Pd. We learned about Laplace Transformation especially about Gamma Function last Thursday. He gave task after he taugh our class. I didn’t go home after the class has finished. I discussed about the tasks was given by our lecturers with my classmate. I would have gone if I had finished my task.

            I have vacation on Thursday until Sunday.  I go out on Thursday afternoon to TIKI. I took the package from my friend that is from Kalimantan . She has sent it a week ago but I did not have time to pick it up. She gave me book and magazine about moslem religion. I was very happy to receive it and I read it immediately. I can get new knowledge after I had finished read it.

I just stay at home on Friday morning. I helped my mother to cook lebaran’s cake . We baked nastar. It spent much time from the day up to the noon. Altough making cakes was very tired but I am happy to do it because I learned how to make cake.

I teach mathematics at the Quantum Course every Saturday afternoon. I begin teaching at 15.00 and finish at 18.00. I attended the joint meeting with other teachers when I had finished teaching. Then we held an events fasting together in Quantum Course with management, employer, too. Many foods and drinks are provided by them so that makes me satisfied after then I pray to Allah. Before I go home to the employer give me half a dozen of syrup and bonus for the Lebaran’s day. I’m so glad to accept it.

I was invited by my college friend of S1 to participate in the events fasting together on the afternoon of last week. We break the fast together at Keremes Chicken’s Restaurant located at Jalan H.M Joni. There are about 12 of my friends who came at an events fasting together. I feel happy to meet with them again because it was almost a year we have never met because each activity. I also miss the other my friends.
            As usual on Monday morning, we learn the methodology of math learning  with Prof. Dr. Sahat Saragih, M Ed from 08:00 hours until 09:30, then we learn Direction Issues Development of Math by Dr. Hasratudin, M Ed, but he was not present. I used the time to do my task. After that we learn mathematics statistic with Prof. Sumarno, M.Ed starting at 11:00 until 12:30. I had a discussed with friends of my group about our task after our class ended. That is Mathematics Education Philosophy of Science a paper, we discuss the comparison of traditional mathematics learning and modern mathematics learning.

            We study about mathematical economics every Tuesday morning from 8 am to 9 am. We were taught by prof. Dr. Asmin, M.Pd. We learn about annuities and rentenitas. After that continued with the philosophy of mathematics education with Prof. Siman, M Ed, but he did not come because there is something else. I teach at tutoring after returning from the campus until the afternoon.  So I decide to go home because I would have teached  in Quantum Course yesterday.

My DAILY ACTIVITIES PART 2

NAME                        : TANTI JUMAISYAROH S

NIM                             : 812171039

STUDY PROGRAM : MATHEMATICS EDUCATION

CLASS                       : REGULAR A-1

My name is Tanti. I am studying at mathematics education graduate program State University of Medan now. I am being still in first semester now. I have been studying at graduate program for four weeks. I am taking seven subjects in this semester. I am happy because I get many new friends in the graduate program. I know almost all the lecturers who teach in the graduate program because I am bachelor degree graduated from State University of Medan. I attended in the college only 3 days a week from Monday to Wednesday, while Thursday till Sunday I’m off in the college.

 We study three subject every Monday, so we go to home more longer than ussualy days. I feel there much diferents of study between bachelor degree and graduate program. I think the difference lies in the facilities more support for the learning process, competent lectures in their fields, subjects and learning tasks are more complicated.

Beside studying in college, I am also became a teacher in Quantum Course. I have been working there for two years since 2011. I feel comfortable working there because the people are friendly although the salary is not as high as in the other places. I am consider them like my family. I am ussulay teach three times a week on  Tuesday, Thursday and Saturday. I have teached of mathematics for 2 hours. I have started at 3 pm and I will finish at 6 pm. Sometimes there are few of the students asking to me about mathematics or their homework when I have finished my lesson. I will have been teaching them before I go to home. I would have gone home , if I had taught them. After I arrive at home, I ussually take a bath and I have a dinner with my family. I have been doing my task  or studying again the lesson in the college before I went to sleep.

KATA PENGANTAR SKRIPSI

KATA PENGANTAR

         Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Swt, atas segalah rahmat dan karuniaNya yang memberikan kesehatan dan hikmat kepada penulis sehingga penelitian ini dapat diselesaikan dengan baik sesuai dengan waktu yang direncanakan.

         Skripsi yang berjudul “Penerapan Model Pembelajaran Problem Based Instruction dan Make a Match untuk Meningkatkan Hasil Belajar Siswa Kelas VII SMP Swasta Sultan Iskandar Muda Medan Pada Pokok Bahasan Bilangan Bulat Tahun Ajaran 2010/2011”, disusun untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.

         Pada kesempatan ini penulis hendak menyampaikan terima kasih kepada : Bapak Prof. Dr. Asmin, M.Pd, sebagai dosen pembimbing skripsi yang telah banyak memberikan bimbingan dan saran-saran kepada penulis sejak awal penelitian sampai dengan selesainya penulisan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak Drs.Syafari M.Pd, Bapak Prof. H. Dian Armanto, M.Pd, M.A, Ph.D, Bapak Drs. W.L. Sihombing, M.Pd selaku dosen–dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran-saran mulai dari rencana penelitian hingga selesainya skripsi ini. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada seluruh Bapak dan Ibu Dosen serta Staf  Pegawai Jurusan Matematika FMIPA UNIMED yang sudah membantu penulis selama menempuh pendidikan selama di Unimed. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Ibu Elly Sortha Maria Silitonga, S.Pd selaku kepala sekolah SMP Swasta Sultan Iskandar Muda Medan yang mana telah memberikan ijin kepada penulis untuk mengadakan penelitian di sekolah tersebut. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada Ibu Lamtiur Sinambella, S.Si dan  Bapak Daniel Pardosi, S.Pd selaku guru bidang studi matematika serta seluruh Bapak dan Ibu guru SMP Swasta Sultan Iskandar Muda Medan yang telah membantu penulis selama melakukan penelitian di sekolah tersebut.

              Teristimewah saya sampaikan terima kasih kepada Ayahanda dan Ibunda yang telah banyak memberi kasih sayang, dukungan baik moril maupun materil, nasehat, dan doa sehingga perkuliahan dan penyusunan skripsi ini dapat terlaksana dengan baik.

Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada adik-adik saya (rina, dilan, nur, sri) yang telah memberi semangat, dorongan dan motivasi kepada penulis. Terima kasih juga disampaikan penulis kepada teman-teman sejawat program studi pendidikan matematika khususnya kelas reguler B yaitu erlina, siti, fanny, dhiah, saadah, ledi, vero, martina serta teman-teman yang lainnya yang tidak bisa saya sebutkan satu per satu. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman PPL SMA Negeri 2 Binjai tahun 2009 atas semangatnya dan dorongannya.

         Penulis telah berupaya dengan semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini, namun penulis menyadari masih banyak kelemahan baik dari segi isi maupun tata bahasa, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca demi kesempurnaan skripsi ini. Kiranya isi skripsi ini bermanfaat dalam memperkaya khasanah ilmu pendidikan dan juga dapat dijadikan sebagai salah satu sumber referensi bagi peneliti selanjutnya yang berminat meneliti hal yang sama.

                                                                                    Medan, 20 Januari 2011

                                                                                    Penulis,

                                                                                    Tanti Jumai Syaroh S

TEORI BELAJAR DIENES

Teori Dienes

Zoltan P. Dienes adalah seorang matematikawan yang memusatkan perhatiannya pada cara-cara pengajaran terhadap anak-anak. Dasar teorinya bertumpu pada teori pieget, dan pengembangannya diorientasikan pada anak-anak, sedemikian rupa sehingga sistem yang dikembangkannya itu menarik bagi anak yang mempelajari matematika.

Dienes berpendapat bahwa pada dasarnya matematika dapat dianggap sebagai studi tentang struktur, memisah-misahkan hubungan-hubungan diantara struktur-struktur dan mengkatagorikan hubungan-hubungan di antara struktur-struktur. Dienes mengemukakan bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam matematika yang disajikan dalam bentuk yang konkret akan dapat dipahami dengan baik. Ini mengandung arti bahwa benda-benda atau obyek-obyek dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika.

Makin banyak bentuk-bentuk yang berlainan yang diberikan dalam konsep-konsep tertentu, akan makin jelas konsep yang dipahami anak, karena anak-anak akan memperoleh hal-hal yang bersifat logis dan matematis dalam konsep yang dipelajarinya itu.

Dalam mencari kesamaan sifat anak-anak mulai diarahkan dalam kegiatan menemukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti. Untuk melatih anak-anak dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan mentranslasikan kesamaan struktur dari bentuk permainan yang satu ke bentuk permainan lainnya. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat-sifat abstrak yang ada dalam permainan semula..

Menurut Dienes konsep-konsep matematika akan berhasil jika dipelajari dalam tahap-tahap tertentu. Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi 6 tahap, yaitu:

1. Permainan Bebas (Free Play)

Dalam setiap tahap belajar, tahap yang paling awal dari pengembangan konsep bermula dari permainan bebas. Permainan bebas merupakan tahap belajar konsep yang aktifitasnya tidak berstruktur dan tidak diarahkan. Anak didik diberi kebebasan untuk mengatur benda. Selama permainan pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini anak mulai membentuk struktur mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan diri untuk memahami konsep yang sedang dipelajari. Misalnya dengan diberi permainan block logic, anak didik mulai mempelajari konsep-konsep abstrak tentang warna, tebal tipisnya benda yang merupakan ciri/sifat dari benda yang dimanipulasi.

2. Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)

Dalam permainan yang disertai aturan siswa sudah mulai meneliti pola-pola

dan keteraturan yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan ini mungkin terdapat dalam konsep tertentu tapi tidak terdapat dalam konsep yang lainnya. Anak yang telah memahami aturan-aturan tadi. Jelaslah, dengan melalui permainan siswa diajak untuk mulai mengenal dan memikirkan bagaimana struktur matematika itu. Makin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan dalam konsep tertentu, akan semakin jelas konsep yang dipahami siswa, karena akan memperoleh hal-hal yang bersifat logis dan matematis dalam konsep yang dipelajari itu. Menurut Dienes, untuk membuat konsep abstrak, anak didik memerlukan suatu kegiatan untuk mengumpulkan bermacam-macam pengalaman, dan kegiatan untuk yang tidak relevan dengan pengalaman itu. Contoh dengan permainan block logic, anak diberi kegiatan untuk membentuk kelompok bangun yang tipis, atau yang berwarna merah, kemudian membentuk kelompok benda berbentuk segitiga, atau yang tebal, dan sebagainya. Dalam membentuk kelompok bangun yang tipis, atau yang merah, timbul pengalaman terhadap konsep tipis dan merah, serta timbul penolakan terhadap bangun yang tipis (tebal), atau tidak merah (biru, hijau, kuning).

3. Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)

Dalam mencari kesamaan sifat siswa mulai diarahkan dalam kegiatan menemukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti. Untuk melatih dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan menstranslasikan kesamaan struktur dari bentuk permainan lain. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat-sifat abstrak yang ada dalam permainan semula. Contoh kegiatan yang diberikan dengan permainan block logic, anak dihadapkan pada kelompok persegi dan persegi panjang yang tebal, anak diminta

mengidentifikasi sifat-sifat yang sama dari benda-benda dalam kelompok tersebut

(anggota kelompok).

4. Permainan Representasi (Representation)

Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa situasi yang sejenis. Para siswa menentukan representasi dari konsep-konsep tertentu. Setelah mereka berhasil menyimpulkan kesamaan sifat yang terdapat dalam situasi-situasi yang dihadapinya itu. Representasi yang diperoleh ini bersifat abstrak, Dengan demikian telah mengarah pada pengertian struktur matematika yang sifatnya abstrak yang terdapat dalam konsep yang sedang dipelajari. Contoh kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal poligon (misal segi dua puluh tiga) dengan pendekatan induktif seperti berikut ini.

Segitiga Segiempat Segilima Segienam Segiduapuluhtiga

0 diagonal 2 diagonal 5 diagonal ..... diagonal ……. diagonal

5. Permainan dengan Simbolisasi (Symbolization)

Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan kemampuan merumuskan representasi dari setiap konsep-konsep dengan menggunakan simbol matematika atau melalui perumusan verbal. Sebagai contoh, dari kegiatan mencari banyaknya diagonal dengan pendekatan induktif tersebut, kegiatan berikutnya menentukan rumus banyaknya diagonal suatu poligon yang digeneralisasikan dari pola yang didapat anak.

6. Permainan dengan Formalisasi (Formalization)

Formalisasi merupakan tahap belajar konsep yang terakhir. Dalam tahap ini siswa-siswa dituntut untuk mengurutkan sifat-sifat konsep dan kemudian merumuskan sifat-sifat baru konsep tersebut, sebagai contoh siswa yang telah mengenal dasar-dasar dalam struktur matematika seperti aksioma, harus mampu

merumuskan teorema dalam arti membuktikan teorema tersebut. Contohnya, anak didik telah mengenal dasar-dasar dalam struktur matematika seperti aksioma, harus mampu merumuskan suatu teorema berdasarkan aksioma, dalam arti membuktikan teorema tersebut.

Pada tahap formalisasi anak tidak hanya mampu merumuskan teorema serta membuktikannya secara deduktif, tetapi mereka sudah mempunyai pengetahuan tentang sistem yang berlaku dari pemahaman konsep-konsep yang terlibat satu sama lainnya. Misalnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan peserta sifat-sifat tertutup, komutatif, asosiatif, adanya elemen identitas, dan mempunyai elemen invers, membentuk sebuah sistem matematika. Dienes menyatakan bahwa proses pemahaman (abstracton) berlangsung selama belajar. Untuk pengajaran konsep matematika yang lebih sulit perlu dikembangkan materi matematika secara kongkret agar konsep matematika dapat dipahami dengan tepat. Dienes berpendapat bahwa materi harus dinyatakan dalam berbagai penyajian (multiple embodiment), sehingga anak-anak dapat bermain dengan bermacam-macam material yang dapat mengembangkan minat anak didik. Berbagai penyajian materi (multiple embodinent) dapat mempermudah proses pengklasifikasian abstraksi konsep.

Menurut Dienes, variasi sajian hendaknya tampak berbeda antara satu dan

lainya sesuai dengan prinsip variabilitas perseptual (perseptual variability), sehingga anak didik dapat melihat struktur dari berbagai pandangan yang berbeda-beda dan memperkaya imajinasinya terhadap setiap konsep matematika yang disajikan. Berbagai sajian (multiple embodiment) juga membuat adanya manipulasi secara penuh tentang variabel-variabel matematika. Variasi matematika dimaksud untuk membuat lebih jelas mengenai sejauh mana sebuah konsep dapat digeneralisasi terhadap konsep yang lain. Dengan demikian, semakin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan dalam konsep tertentu, semakin jelas bagi anak dalam memahami konsep tersebut.

Berhubungan dengan tahap belajar, suatu anak didik dihadapkan pada permainan yang terkontrol dengan berbagai sajian. Kegiatan ini menggunakan kesempatan untuk membantu anak didik menemukan cara-cara dan juga untuk mendiskusikan temuan-temuannya. Langkah selanjutnya, menurut Dienes, adalah memotivasi anak didik untuk mengabstraksikan pelajaran tanda material kongkret dengan gambar yang sederhana, grafik, peta dan akhirnya memadukan simbolo - simbol dengan konsep tersebut. Langkah-langkah ini merupakan suatu cara untuk memberi kesempatan kepada anak didik ikut berpartisipasi dalam proses penemuan dan formalisasi melalui percobaan matematika. Proses pembelajaran ini juga lebih melibatkan anak didik pada kegiatan belajar secara aktif dari pada hanya sekedar menghapal. Pentingnya simbolisasi adalah untuk meningkatkan kegiatan matematika ke satu bidang baru.

Dari sudut pandang tahap belajar, peranan guru adalah untuk mengatur belajar anak didik dalam memahami bentuk aturan-aturan susunan benda walaupun dalam skala kecil. Anak didik pada masa ini bermain dengan simbol dan aturan dengan bentuk-bentuk kongkret dan mereka memanipulasi untuk mengatur serta mengelompokkan aturan-aturan Anak harus mampu mengubah fase manipulasi kongkret, agar pada suatu waktu simbol tetap terkait dengan pengalaman kongkretnya.

Teori Belajar Dienes

Zoltan P. Dienes, yang dididik di Hungaria,  Perancis dan Inggris, telah menggunakan minat dan pengalamannya dalam pendidikan matematika dan dalam belajar psikologi untuk mengembangkan suatu sistem pembelajaran matematika. Sistem tersebut, yang sebagian didasarkan pada psikologi belajar Piaget, dikembangkan dalam usaha untuk membuat matematika lebih menarik dan lebih mudah untuk dipelajari.

B.     Konsep Matematika

Dienes memandang matematika sebagai penyelidikan tentang struktur, pengklasifikasian struktur, memilah-milah hubungan di dalam struktur,  dan membuat kategorisasi hubungan-hubungan di antara struktur-struktur. Ia yakin bahwa setiap konsep (atau prinsip) matematika dapat dipahami dengan tepat hanya jika mula-mula disajikan melalui berbagai representasi konkret/fisik. Dienes menggunakan istilah konsep untuk menunjuk suatu struktur matematika, suatu definisi tentang konsep yang jauh lebih luas daripada definisi Gagne. Menurut Dienes, ada tiga jenis konsep matematika yaitu konsep murni matematika, konsep notasi, dan konsep terapan.

Konsep matematis murni berhubungan dengan klasifikasi bilangan-bilangan dan hubungan-hubungan antar bilangan, dan sepenuhnya bebas dari cara bagaimana bilangan-bilangan itu disajikan. Sebagai contoh, enam, 8, XII, 1110 (basis dua), dan Δ Δ Δ Δ, semuanya merupakan contoh konsep bilangan genap; walaupun masing-masing menunjukkan cara yang berbeda dalam menyajikan suatu bilangan genap.

Konsep notasi adalah sifat-sifat bilangan yang merupakan akibat langsung dari cara penyajian bilangan. Fakta bahwa dalam basis sepuluh, 275 berarti 2 ratusan ditambah 7 puluhan ditambah 5 satuan merupakan akibat dari notasi nilai tempat dalam menyajikan bilangan-bilangan yang didasarkan pada sistem pangkat dari sepuluh. Pemilihan sistem notasi yang sesuai untuk berbagai cabang matematika adalah faktor penting dalam pengembangan dan perluasan matematika selanjutnya.

Konsep terapan adalah penerapan dari konsep matematika murni dan notasi untuk penyelesaian masalah dalam matematika dan dalam bidang-bidang yang berhubungan. Panjang, luas dan volume adalah konsep matematika terapan. Konsep-konsep terapan hendaknya diberikan kepada siswa setelah mereka mempelajari konsep matematika murni dan notasi sebagai prasyarat. Konsep-konsep murni hendaknya dipelajari oleh siswa sebelum mempelajari konsep notasi, jika dibalik para siswa hanya akan menghafal pola-pola bagaimana memanipulasi simbol-simbol tanpa pemahaman konsep matematika murni yang mendasarinya. Siswa yang membuat kesalahan manipulasi simbol seperti 3x + 2 = 4 maka x + 2 = 4 – 3,  = x, a² x a³ = a⁶, dan  = x +  berusaha menerapkan konsep murni dan konsep notasi yang tidak cukup mereka kuasai.

Dienes memandang belajar konsep sebagai seni kreatif yang tidak dapat dijelaskan oleh teori stimulus-respon mana pun seperti tahap-tahap belajar Gagne. Dienes percaya bahwa semua abstraksi didasarkan pada intuisi dan pengalaman konkret; akibatnya sistem pembelajaran matematika Dienes menekankan laboratorium matematika, objek-objek yang dapat dimanipulasi, dan permainan matematika.

C.    Tahap-tahap dalam Belajar Konsep Matematika

Dienes yakin bahwa konsep-konsep matematika harus dipelajari secara bertahap yang mirip dengan tahap-tahap perkembangan intelektual Piaget. Ia memandang sebagai aksioma enam tahap mengajar dan belajar konsep matematika yakni (1) bermain bebas, (2) bermain dengan aturan (games), (3) mencari sifat-sifat yang sama, (4) representasi, (5) simbolisasi, dan (6) formalisasi.

Tahap 1. Bermain Bebas

Tahap bermain bebas dari belajar konsep terdiri dari kegiatan-kegiatan yang tidak distrukturkan dan tidak diarahkan yang membolehkan para siswa untuk bereksperimen dengan dan memanipulasi representasi fisik dan asbstrak beberapa unsur dari konsep yang dipelajari. Tahap belajar konsep ini hendaknya dibuat sebebas dan tak terstruktur mungkin; akan tetapi guru hendaknya menyediakan bahan-bahan yang sangat bervariasi untuk dimanipulasi para siswa. Akan tetapi periode bermain bebas yang tanpa aturan ini mungkin dinilai rendah nilainya oleh guru yang terbiasa mengajar matematika menggunakan metode yang sangat terstruktur, namun ini merupakan tahap penting dalam belajar konsep. Di sini para siswa mengalami untuk pertama kalinya berhubungan dengan banyak komponen dari konsep baru melalui interaksi dengan lingkungan belajar yang berisi banyak representasi konkret dari konsep itu. Pada tahap ini para siswa membentuk struktur mental dan sikap yang menyiapkan mereka untuk mengerti struktur matematis suatu konsep.

Tahap 2. Games

Setelah periode bermain bebas dengan banyak representasi suatu konsep, para siswa akan mulai mengamati pola-pola dan keteraturan yang melekat pada konsep itu. Mereka memperhatikan bahwa aturan-aturan tertentu menentukan suatu kejadian, bahwa beberapa hal adalah mungkin dan bahwa hal lainnya tidak mungkin. Sekali siswa telah menemukan aturan-aturan dan sifat-sifat yang menentukan suatu kejadian, mereka siap untuk memainkan games, bereksperimen dengan mengubah aturan permainan yang dibuat oleh guru dan membuat permainan mereka sendiri. Games memungkinkan para siswa bereksperimen dengan berbagai parameter dan variasi dalam suatu konsep dan untuk mulai menganalisis struktur matematis suatu konsep. Berbagai permainan dengan representasi yang berbeda tentang suatu konsep akan membantu para siswa menemukan unsur-unsur logis dan matematis suatu konsep.

Tahap 3. Mencari Sifat yang sama

Bisa terjadi setelah memainkan beberapa games menggunakan representasi fisik yang berbeda dari suatu konsep, para siswa mungkin tidak menemukan struktur matematis yang ada pada semua representasi konsep itu. Sebelum para siswa menyadari adanya sifat-sifat yang sama dalam representasi-representasi itu, mereka tidak akan dapat mengklasifikasi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep. Dienes menyarankan agar para guru dapat membantu para siswa melihat struktur yang sama dalam contoh-contoh konsep itu dengan menunjukkan kepada mereka bahwa setiap contoh dapat dijelmakan ke dalam setiap contoh lain tanpa mengubah sifat-sifat abstrak yang sama pada semua contoh. Seperti halnya untuk menunjukkan sifat-sifat yang sama yang ditemukan dalam setiap contoh dengan memikirkan beberapa contoh pada saat yang sama.

Tahap 4. Representasi

Setelah para siswa mengamati unsur-unsur yang sama dalam setiap contoh konsep, mereka perlu mengembangkan, atau menerima dari guru, representasi tunggal konsep itu yang meliputi semua unsur yang sama yang ditemukan dalam setiap contoh. Para siswa memerlukan representasi dengan tujuan untuk menunjukkan unsur-unsur yang sama yang terdapat dalam semua contoh konsep. Suatu representasi konsep biasanya lebih abstrak daripada contoh-contoh dan akan membawa para siswa lebih dekat kepada pemahaman struktur matematis abstrak yang mendasari konsep itu. Contoh kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal poligon (misal segi dua puluh tiga) dengan pendekatan induktif. 

Gambar 1. Gambar diagonal suatu poligon

Tahap 5. Simbolisasi

Pada tahap ini siswa perlu merumuskan dengan kata-kata yang sesuai dan simbol-simbol matemais untuk mendeskripsikan representasi konsepnya. Baik sekali jika siswa dapat menciptakan representasi simbolik mereka sendiri untuk setiap konsep; akan tetapi, untuk tujuan konsistensi dengan buku teks, guru hendaknya campur tangan dalam pemilihan sisem simbol oleh siswa. Pada awalnya lebih baik para siswa diperbolehkan membuat representasi simbolik mereka sendiri, dan selanjutnya mintalah mereka membandingkan simbolisasi mereka dengan simbolisasi dalam buku teks. Para siswa hendaknya ditunjukkan pentingnya sistem simbol yang baik dalam memecahkan masalah, membuktikan teorema, dan dalam menjelaskan konsep-konsep. Sebagai contoh, teorema Pythagoras akan lebih mudah diingat dan digunakan jika ia disajikan secara simbolis sebagai a² + b² = c², daripada secara verbal sebagai ”untuk segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain.”

Tahap 6. Formalisasi

Setelah para siswa mempelajari suatu konsep dan struktur matematis yang berkaitan,  mereka harus mengurutkan sifat-sifat konsep itu dan memikirkan akibatnya. Sifat-sifat utama dalam suatu struktur matematis merupakan aksioma-aksioma suatu sistem. Sifat-sifat yang diturunkan adalah teorema, dan prosedur dari aksioma untuk mencapai teorema adalah bukti matematis. Pada tahap ini para siswa menyelidiki akibat-akibat suatu konsep dan menggunakan konsep untuk menyelesaikan soal-soal matematika murni dan terapan.

Pada tahap formalisasi anak tidak hanya mampu merumuskan teorema serta membuktikannya secara deduktif, tetapi mereka sudah mempunyai pengetahuan tentang sistem yang berlaku dari pemahaman konsep-konsep yang terlibat satu sama lainnya. Misalnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan peserta sifat-sifat tertutup, komutatif, asosiatif, adanya elemen identitas, dan mempunyai elemen invers, membentuk sebuah sistem matematika.

Menurut Dienes, variasi sajian hendaknya tampak berbeda antara satu dan lainya sesuai dengan prinsip variabilitas perseptual (perseptual variability), sehingga anak didik dapat melihat struktur dari berbagai pandangan yang berbeda-beda dan memperkaya imajinasinya terhadap setiap konsep matematika yang disajikan. Berbagai sajian (multiple embodiment) juga membuat adanya manipulasi secara penuh tentang variabel-variabel matematika. Variasi matematika dimaksud untuk membuat lebih jelas mengenai sejauh mana sebuah konsep dapat digeneralisasi terhada konteks yang lain. Dengan demikian, semakin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan dalam konsep tertentu, semakinjelas bagi anak dalam memahami konsep tersebut.

Berhubungan dengan tahap belajar, suatu anak didik dihadapkan pada permainan yang terkontrol dengan berbagai sajian. Kegiatan ini menggunakan kesempatan untuk membantu anak didik menemukan cara-cara dan juga untuk mendiskusikan temuan-temuannya. Langkah selanjutnya, menurut Dienes, adalah memotivasi anak didik untuk mengabstraksikan pelajaran tanda material kongkret dengan gambar yang sederhana, grafik, peta dan akhirnya memadukan simbolo-simbol dengan konsep tersebut. Langkah-langkah ini merupakan suatu cara untuk memberi kesempatan kepada anak didik ikut berpartisipasi dalam proses penemuan dan formalisasi melalui percobaan matematika. Proses pembelajaran ini juga lebih melibatkan anak didik pada kegiatan belajar secara aktif darinpada hanya sekedar menghapal. Pentingnya simbolisasi adalah untuk meningkatkan kegiatan matematika ke satu bidang baru.

Games

Dienes yakin bahwa permainan merupakan alat yang bermanfaat untuk mempelajari konsep-konsep matematis melalui enam tahap perkembangan konsep. Ia menyebut permainan yang dimainkan pada tahap permainan yang tak diarahkan, di mana para siswa melakukan sesuatu untuk kesenangan mereka sendiri, permainan pendahuluan. Permainan pendahuluan selalu informal dan tak terstruktur dan bisa dibuat oleh para siswa dan dimainkan secara individual atau kelompok. Pada tahap pertengahan belajar konsep, di mana para siswa mengelompokkan unsur-unsur suatu konsep, permainan terstruktur bisa menolong. Permainan terstruktur dirancang untuk tujuan belajar tertentu dan bisa dikembangkan oleh guru atau dibeli dari perseroan yang memproduksi bahan-bahan kurikulum matematika. Pada tahap akhir perkembangan konsep, ketika para siswa sedang memantapkan dan menggunakan suatu konsep, permainan praktik bisa menolong. Permainan praktik dapat digunakan sebagai latihan praktik dan dril, untuk meninjau konsep, atau sebagai cara untuk mengembangkan penerapan konsep.

D.    Penerapan Teori Dienes dalam Pembelajaran

Dalam menerapkan enam tahap belajar konsep dari Dienes untuk merancang pembelajaran matematika, mungkin suatu tahap (bisa tahap bermain bebas) tidak cocok bagi para siswa atau kegiatan-kegiatan untuk dua atau tiga tahap dapat digabung menjadi satu kegiatan. Mungkin perlu dirancang kegiatan-kegiatan belajar khusus untuk setiap tahap jika kita mengajar siswa-siswa SD kelas rendah; tetapi untuk siswa-siswa SMP dimungkinkan menghilangkan tahap-tahap tertentu dalam mempelajari beberapa konsep. Model mengajar matematika dari Dienes hendaknya diperlakukan sebagai pedoman, dan bukan sekumpulan aturan yang harus diikuti secara ketat.

Konsep perkalian bilangan bulat negatif akan dibahas di sini sebagai contoh bagaimana tahap-tahap Dienes dapat digunakan sebagai pedoman dalam merancang kegiatan mengajar/belajar. Karena hampir semua siswa belajar menambah, mengurang, mengalikan dan membagi bilangan-bilangan asli, dan menambah dan mengurang bilangan-bilangan bulat sebelum belajar mengalikan bilangan bulat, kita berasumsi bahwa konsep-konsep dan keterampilan-keterampilan itu telah dikuasai oleh para siswa.

Bagi para siswa kelas 6 atau 7, dapat mulai sesi permainan bebas dengan secara informal mendiskusikan pengerjaan hitung pada bilangan asli dan sifat-sifat aljabar dari bilangan asli. Guru mungkin juga mendiskusikan penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat dan sifat pertukaran dan pengelompokan penjumlahan. Guru bisa juga mengganti permainan bebas dengan tinjauan informal. Atau tahap bermain bebas dan game bisa digabung menjadi beberapa permainan seperti permainan kartu sederhana berikut: guru hendaknya menyiapkan meja panjang secukupnya untuk permainan kartu standar sedemikian hingga terdapat satu meja panjang untuk setiap lima siswa dalam kelas. Para siswa yang bermain dalam kelompok lima orang dan setiap anak memegang empat kartu. Setiap siswa mengelompokkan kartu-kartunya menjadi berpasang-pasangan, kemudian mengalikan kedua bilangan yang ditunjukkan oleh setiap pasang kartu, dan kemudian menjumlahkan kedua hasilkali itu. Siswa yang dapat memasangkan kartu-kartunya sehingga memperoleh jumlah hasilkali terbesar adalah pemenang dalam kelompoknya. Bilangan-bilangan pada kartu hitam dianggap sebagai bilangan positif, dan bilangan-bilangan pada kartu merah (hati dan belah ketupat) sebagai bilangan negatif. Konsekuensinya para siswa langsung dihadapkan pada masalah bagaimana mengelompokkan kartu-kartu negatif untuk mendapatkan hasil kali dan jumlah positif yang besar. Beberapa kelompok mungkin menyepakati aturan-aturan yang berbeda untuk menangani hasilkali dua bilangan negatif. Sebagai contoh, kartu hitam 2 dan 4 dan kartu merah 7 dan 5 dapat digunakan untuk membuat 2 x 4 + (-7 x -5) = 43, jika aturan yang benar bahwa hasilkali dua bilangan bulat negatif adalah suatu bilangan bulat positif telah dirumuskan. Jika tidak, maka bilangan-bilangan negatif tidak akan menolong dalam mengorganisasi seorang pemenang. Beberapa siswa tentunya akan saling bertanya atau bertanya kepada guru tentang bagaimana menyekor bilangan bulat negatif.

Untuk memutuskan bagaimana menyelesaikan perkalian dua bilangan negatif, guru hendaknya menyajikan sekumpulan soal yang melibatkan mencari pola (sifat yang sama). Sebagai contoh, soal-soal ini dapat didiskusikan di kelas:

1. Selesaikan daftar berikut:

-3 x 3 = -9

-3 x 2 = -6

-3 x 1 = -3

-3 x 0 = 0

-3 x -1 = ?

-3 x -2 = ?

-3 x -3 = ?

2.  

3. -3 x (7 + -2) = (-3 x 7) + (-3 x -2) = -21 +  ?

tetapi -3 x (7 + -2) = -3 x 5 = -15.

 jadi bilangan berapakah    ?    ?

Sebagai guru matematika, kamu dapat menyusun contoh-contoh lain yang menunjukkan bahwa hasilkali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

Tahap representasi untuk membentuk konsep perkalian dua bilangan bulat negatif, para siswa dapat mengamati diagram yang menyajikan konsep itu dan mendeskripsikan sifat umum perkalian dua bilangan bulat negatif.

Dalam tahap simbolisasi, kelas hendaknya menggunakan sistem simbol bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, (-a)(-b) = +ab; dan untuk sebarang bilangan bulat x, y, z, x(y + z) = xy + xz.

Konsep itu dapat diformalkan dengan mengetahui bahwa pernyataan, ”hasilkali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif,” merupakan suatu aksioma.Teorema seperti y x z = z x y dan x(y + z) = xy + xz dapat diwujudkan dan dibuktikan.