salju

Jumat, 09 Agustus 2013

RING FAKTOR (STRUKTUR ALJABAR)



gelanggang (Ring) Faktor
Pada bab ini kita telah membicarakan bahwa bila N adalah suatu subgrup normal dari G, maka kita dapat membentuk grup faktor G/N. Pada suatu gelanggang R,  Bila N adalah suatu sub grup normal dari G, maka kita dapat membentuk suatu grup faktor G/N. pada suatu gelanggang R, bila N adalah suatu subgelanggang dari R, maka R/N =  dengan operasi penjumlahan dari R adalah suatu grup faktor. Hal ini dijamin oleh kenyataan  adalah suatu grup komutatif.
            Selanjutnya kita ingin membentuk R/N  menjadi suatu gelanggang. Persoalan yang timbul adalah bagaimana cara kita mendifinisikan operasi perkalian atas R/N . Jawaban yang wajar adalah kita mendifinisikannya dengan menggunakan oeprasi perkalian dari gelanggang R. Andaikan (r1 + N) + (r2 + N) , menurut operasi perkalian di gelanggang R .
(r1 + N) + (r2 + N)
                                  = 
Secara umum kita tidak  mempunyai jaminan bahwa  (r1 + N) + (r2 + N) . Tetapi bila N adalah suatu ideal dari R, maka  dan  . hal ini berakibat bahwa , sehingga :
(r1 + N) + (r2 + N)  
Kemudian kita harus menjamin operasi :
        (r1 + N) + (r2 + N) =
Untuk semua (r1 + N), (r2 + N) adalah terdefinisi dengan baik. Artinya bila  dan , maka kita harus menjamin bahwa  =  ). Untuk itu kita harus memperlihatkan   , karena N adalah subgrup normal, hal ini sama artinya dengan memperlihatkan  . Perhatikan bahwa :
  
                                                    = 

Karena   dan   maka ,  , sehingga  dan , akibatnya  =   . Jadi operasi (r1 + N) + (r2 + N)  adalah terdefinisi dengan baik.
TEOREMA 13.3.1
Andaikan R adalah suatu gelanggang dan misalkan N adalah ideal dari R. bila pada himpunan R/N =  didefinisikan operasi
(r1 + N) + (r2 + N) = (r1 + r2) + N
                                    dan (r1 + N) . (r2 + N) = r1 r2 + N
untuk semua (r1 + N) , (r2 + N)  R/N, maka  adalah suatu gelanggang.
Bukti :
Karena  adalah suatu grup komutatif, maka  adalah suatu grup komutatif. Sekarang, kita tinggal memperlihatkan bahwa operasi perkalian adalah assosiatif dan distributife terhadap operasi penjumlahannya. Perhatikan sebarang tiga unsur (r1 + N) , (r2 + N) , (r3 + N)  R/N. Maka :
            ((r1 + N) . (r2 + N). (r3 + N)              = (r1 r2 + N) (r3 + N)
                                                            = (r1 r2) r3 + N
                                                            = r1 (r2 r3) + N
                                                            = (r1 + N) (r2 r3 + N)
                                                            =
Sehingga operasi perkalian adalah assosiatif.
Selanjutnya untuk sebarang (r1 + N) . (r2 + N) . (r3 + N)  R/N
         =  
                                                                        =
                                                                        =
                                                            =  
                                                                        = (r1 + N) (r2 + N) + (r2 + N) (r3 + N)
Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa
             = (r1 + N) (r2 + N) + (r2 + N) (r3 + N)
Sehingga  adalah suatu gelanggang.
Gelanggang R/N pada teorema diatas disebut sebagai gelanggang faktor dari R modulo N. Berikut ini sifat-sifat dari gelanggang faktor. Berikut ini merupakan Salah satu sifat gelanggang R/N.